1 x 9 + 2 = 11
                                                            12 x 9 + 3 = 111
                                                          123 x 9 + 4 = 1111
                                                        1234 x 9 + 5 = 11111
                                                      12345 x 9 + 6 = 111111
                                                    123456 x 9 + 7 = 1111111
                                                  1234567 x 9 + 8 = 11111111
                                                12345678 x 9 + 9 = 111111111

                                                             9 X 9 + 7 = 88
                                                           98 X 9 + 6 = 888
                                                         987 X 9 + 5 = 8888
                                                       9876 X 9 + 4 = 88888
                                                     98765 X 9 + 3 = 888888
                                                   987654 X 9 + 2 = 8888888
                                                 9876543 X 9 + 1 = 88888888
                                               98765432 X 9 + 0 = 888888888

                                                                     1 X 8 + 1 = 9
                                                                   12 X 8 + 2 = 98
                                                                 123 X 8 + 3 = 987
                                                               1234 X 8 + 4 = 9876
                                                             12345 X 8 + 5 = 98765
                                                           123456 X 8 + 6 = 987654
                                                         1234567 X 8 + 7 = 9876543
                                                       12345678 X 8 + 8 = 98765432
                                                     123456789 X 8 + 9 = 987654321

ஒன்றிலிருந்து ஒன்பதுக்குள் மூன்று எண்களை தேர்வு செய்து கொள்ளுங்கள்.
அந்த மூன்று எண்களைக் கொண்டு ஒரு மூன்றிலக்க எண்ணை உருவாக்கிக் கொள்ளுங்கள்.இது'அ'
அந்த எண்ணை திருப்பி எழுதுங்கள்.இது 'ஆ'
'அ','ஆ' இவற்றுள் பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழியுங்கள்.இது 'இ'.
'இ'யைத் திருப்பி எழுதுங்கள்.இந்த எண் 'ஈ'
இப்பொழுது 'இ'யையும்,'ஈ'யையும் கூட்டுங்கள்.
வரும் விடை 1089 தானே?இதில் என்ன விசேசம் என்று கேட்கிறீர்களா?ஒன்றிலிருந்து ஒன்பதுக்குள் எந்த மூன்று எண்களைத் தேர்வு செய்து இவ்வாறு செய்தாலும்.விடை 1089 தான் வரும்.
உதாரணமாக,1,2,7 என்ற மூன்று எண்களைத் தேர்வு செய்து கொள்வோம்.
'அ'=127
'ஆ'=721
'அ'-'ஆ'=721-127=594
'இ'=594
'ஈ'=495
'இ'+'ஈ'=594+495=1089
ஏதாவது மூன்று எண்களைத் தேர்வு செய்து முயற்சி செய்து பாருங்கள்.

100 க்குள் 5 ல் முடியும் ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கண்டு பிடிக்க ஒரு எளிய வழி.:
உதாரணமாக 75 ன் வர்க்கத்தைக் கண்டு பிடிப்போம்.இந்த எண்ணின் முதல் எண்ணை எடுத்து அதாவது 7  ,அதனை அதனுடன் ஒன்று கூட்டி வரும் எண்ணால்  அதாவது  8 ஆல்  பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.ஆக 7x(7+1)=7x8=56.
இந்த எண்ணை எழுதிக் கொண்டு அதனருகில்  25ஐ சேர்த்தால் விடை கிடைக்கும்.அதாவது 5625
இன்னொரு உதாரணம்: 35என்ற எண்ணின் வர்க்கம் காண்போம்.
முதல்  எண்=3
அதனுடன்  ஒன்று  கூட்ட  வருவது =4
இரண்டையும்  பெருக்க  =3x4=12
இந்த  என்னுடன்  25 சேர்த்து  எழுத =1225
35x35=1225.

6² - 5² = 11
56² - 45² = 11 11
556² - 445² = 11 11 11
5556² - 4445² = 11 11 11 11
.......and so on

======

4 + 9 + 1 +3  = 17
4913  = 17³


=======

1³ + 5³ + 3³ = 153

தனியான நான்கு எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.அந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்ணை எழுதிக் கொள்ளுங்கள் .பின் அதே நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் சிறிய எண்ணையும் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்.பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழியுங்கள்.வருகிற விடையில் உள்ள நான்கு எண்களை உபயோகித்து பெரிய எண்,சிறிய எண் கண்டுபிடித்துப் பின் கழியுங்கள்.இதே போலத் தொடர்ந்து செய்தால் ஒரு முறை   6174         என்ற எண் வரும் எந்த நான்கு எண்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் இதே போல ஒரு   நிலையில் 6174     என்ற எண் வரும் இந்த எண்ணை கார்ப்ரேகர் எண் என்று சொல்கிறார்கள்.
உதாரணம்;
எடுத்துக்  கொண்ட  எண்கள்;8,7,9,6
இந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்;9876
சிறிய எண்;6789
வித்தியாசம்;3087
மீதியில் வரும் நான்கு எண்கள்;. 3,0,8,7
இந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்;8730
சிறிய எண்;  0378
வித்தியாசம்;8352
8,3,5,2,இவற்றின் பெரிய எண்;8532
சிறிய எண்;2358
வித்தியாசம்;6174
ஒரு  சில  எண்களுக்கு ஒரே  முறையிலும் ,வேறு  சில  எண்களுக்கு  நான்கைந்து  தடவைகளுக்குப்  பின்னும்  இந்த  6174  என்ற  எண்  வரும் .

கீழேதரப்பட்டுள்ள பெருக்கல்களில் ஒருசிறப்பம்சம்உள்ளது.விடையில்வரும் எண்கள் எல்லாம் ஒரே எண்கள் திரும்பவும் வருகின்றன.அதுவும் வரிசையாக வருகின்றன.(same figures in the same order starting in a different place as if written round the edge of a circle)
142857 X2= 285714
142857 X3 =428571
142857X4 =571428
142857 X5 =714285
142857 X6=857142

கீழே உள்ள பெருக்கல்களைப் பாருங்கள் இடது புறமும் வலது புறமும் ஒன்றிலிருந்து ஒன்பது வரை உள்ள எண்கள் இடம் பெற்றுள்ளன.
51249876 X3=153749628
32547891X6=195287346
16583742X9=149253678

கீழே உள்ள வித்தியாசமான பெருக்கலைப் பாருங்கள்.இடது புறத்தில் உள்ள எண்கள் வலது புறத்தில் அப்படியே திரும்பி இருக்கின்றன.
10989 X 9 =98901.

2519  ஒரு விந்தையான எண்
இதை 9   ஆல் வகுத்தால் 8   மீதி வரும்.
இதை 8    ஆல் வகுத்தால்  7    மீதி வரும்

இதை7    ஆல் வகுத்தால்6    மீதி வரும்
இதை 6    ஆல் வகுத்தால் 5    மீதி வரும்
இதை5    ஆல் வகுத்தால்4    மீதி வரும்
இதை4    ஆல் வகுத்தால்3    மீதி வரும்
இதை3    ஆல் வகுத்தால் 2   மீதி வரும்
இதை2    ஆல் வகுத்தால்1    மீதி வரும்

ஒரு அதிசய எண்;12345679
ஒன்றிலிருந்து ஒன்பதுக்குள் ஒரு எண்ணைத்தேர்ந்தெடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அந்த எண்ணை ஒன்பதால் பெருக்கி வரும் விடையை இந்த அதிசய எண்ணுடன் பெருக்குங்கள்.விடை நீங்கள் தேர்ந்தெடுத்த எண்ணின் வரிசையாக இருக்கும்.
1x9x12345679=111111111
2x9x12345679=222222222
3x9x12345679=333333333
4x9x12345679=444444444
5x9x12345679=555555555
6x9x12345679=666666666
7x9x12345679=777777777
8x9x12345679=888888888
9x9x12345679=999999999

ஒரு மூன்று இலக்க எண்ணை எழுதிக் கொள்ளுங்கள்.
அதனை தொடர்ந்து அதே எண்ணை மீண்டும் எழுதி ஆறு இலக்க எண்ணாக  ஆக்குங்கள்.
அதை ஏழு கொண்டு வகுங்கள்.
வந்த விடையை பதினொன்றால் வகுங்கள்.
கிடைத்த எண்ணை பதிமூன்றால் வகுங்கள்.
இப்போது கிடைத்த விடை நீங்கள் முதலில் நினைத்த எண்.சரிதானா?
உதாரணம்;
 மூன்று இலக்க எண்   =               369
மீண்டும் எழுதினால்   =               369369
ஏழு கொண்டு வகுத்தால்=         52767
பதினொன்றால் வகுத்தால் =   4797
பதிமூன்றால் வகுத்தால்      =   369

இது   ஒரு   அதிசய சதுரம்.இடமிருந்து வலம்,மேலிருந்து கீழ், குறுக்காக  எப்படிக் கூட்டினாலும் 264   வரும்.

          96   11   89   68
          88   69   91   16
          61   86   18   99
          19   98   66   81

அது மாத்திரமல்ல.இந்த சதுரத்தை அப்படியே தலைகீழாக மாற்றிப் பாருங்கள்.

           18   99   86   61
           66   81   98   19
           91   16   69   88
           89   68   11   96

இப்பொழுதும் இடமிருந்து வலம்,மேலிருந்து கீழ்,குறுக்காக கூட்டிப் பாருங்கள்.அதே விடை தான் வரும்.264